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浅谈数学竞赛中的构造法

2014-10-10 16:20:04

浅谈数学竞赛中的构造法如下文

浅谈数学竞赛中的构造法

文先生范文网为大家收集整理了数学竞赛中的构造法,供大家参考,希望对大家有所帮助!!!

构造法属于非常规思维,它适用于对某些常规方法不易解决的问题,既巧妙,又简洁。其主要思想是依据题设条件特点,以所求结论为方向,在思维中形成新的数学形式,使得问题在这种形式下,拥有简捷解决的方法。由于它主要表现出思维的试探性,所以是竞赛中重要的解题方法之一。

1、构造方程法

构造方程通常是构造一些特殊的方程,如一元二次方程等。因为一元二次方程本身具有一些可扩展的内容,如方程有实根则判别式大于零或等于零;其根与系数之间具有非常特殊的关系—韦达定理;方程在区间上有实根可与函数和图象产生对应关系等等。通过构造方程,可以将一些“相等关系”转化为“不等关系”,或者将“不等关系”转化为“相等关系”。

例1为实数,且满足 则求 的范围。

分析: 由已知条件得 ,所以根据韦达定理可构造一元二次方程

此方程有两实根,其判别式不小于零,即有

由此可得的取值范围是[1,9]。

这里需要说明的是:在具体的问题中要构造什么方程,要看具体问题的需求而定,但凡是涉及“两数之和或两数之积”,应该想到可通过韦达定理来构造方程,凡涉及与判别式结构类似的关系式也应该想到可以构造相应的方程。

例2已知 是正 的外接圆 (劣弧)上任一点,求证:

例3 确定方程组的所有整数解,方程组为

分析:此题是较高次的方程组,难度很大,但由 可求出 ,从而可用与方程有关的知识,问题就比较容易解决。

2、构造函数法

函数是数学中最重要的思想,在初等数学中,联系着数、式、不等式、数列、曲线等方面的问题,构造函数就是从问题本身的特点出发构造一个新的函数,再利用函数性质去求得问题的解。

例4 已知 是满足的实数,试确定 的最大值。

3、构造图形法

例6求函数 的值域。

分析:此关系反映了过两点 的直线的斜率,而 点是单位圆 上的点,所以考虑当 在单位圆上运动时直线 的斜率的取值范围,易得斜率范围为

需要注意的是:要构造图形解题首先考虑一些基本代数式与几何图形的对应关系,如方程与直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线及一些基本图形的性质的代数表达式,如三角函数的正弦、余弦定理等。

4、构造模型

将问题中的条件,数量关系等,在已构造的模型上实现并得到一种解释,从而实现问题的证明,具体解题过程中有些模型能从问题本身的条件中获得,而有些模型构造精巧。

例7证以顶点在单位圆上的锐角三角形的三角的余弦之和小于该三角形周长之半。

5、构造不等式法

在一些问题特别是函数的最值问题中,其条件或函数关整理系式的构成,往往隐含着一些限制条件,如方程有解时 ,一些基本不等式 等,充分利用它们可构成不等式,使问题得到解决。

(全国高中数学联赛)

6、构造距离法

例10设 ,求 的最小值。

分析: 可变形为 。其中 为点 与点 之间距离的平方,而此两点分别在直线 及 上,根据两直线位置情况,不难知道两直线上的点之间最短距离为 。从而可知 的最小值为6。

7、构造对应关系

所谓构造对应关系即将一件事与另一件事相对应,在处理一些计数问题时常用这种方法,由于有时直接满足某些要求的元素的个数可能比较困难,但考虑与之相对应的另一类元素就可能较容易。

例11试问方程 有多少组正整数解。

分析: 可构造这样一个对应关系:将2002个完全相同的球排成一排,则它们有2001个间隔,将1000块板插入这2001个间隔中(每间隔只能插进一个板),则显然每组插法与原方程的每一组解产生一一对应关系,而此时2001个间隔中人选1000个间隔分别插入一块板,显然共有 种不同的插法,所以原方程共有 个不同的整数解。

构造法的应用,对于考试及竞赛中灵活应试,以及培养能力、启迪思维具有十分重要的意义。上面仅仅是常见的集中构造法,还有很多构造类型,如构造复数、构造等价命题、构造数列、构造恒等式、构造结论、构造复数等。在数学构造中,针对不同的题型,巧妙的利用题中条件或结论使问题得到解决。这种独到的方法往往在解题过程中使解题思路开阔很多,更减少了解题过程中不必要的麻烦。但同时,构造法是一种较灵活的方法,不同的题型要用不同的方法来解决。总之,构造法是一种灵活性很强的数学解题方法,它要求解题者具备扎实的基础知识,敏锐的观察能力及丰富的想象力,这样才能在做题过程中起到事半功倍的效果。

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